Умножение чисел со степенями с разными основаниями

Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

Умножение чисел со степенями с разными основаниями

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками.

Так, сумма a3 и b2 есть a3 + b2.
Сумма a3 – bn и h5 -d4 есть a3 – bn + h5 – d4.

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a2 и 3a2 равна 5a2.

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени различных переменных и различные степениодинаковых переменных, должны слагаться их сложением с их знаками.

Так, сумма a2 и a3 есть сумма a2 + a3.

Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

Сумма a3bn и 3a5b6 есть a3bn + 3a5b6.

Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Из2a43h2b65(a – h)6
Вычитаем-6a44h2b62(a – h)6
Результат8a4-h2b63(a – h)6

Или:
2a4 – (-6a4) = 8a4
3h2b6 – 4h2b6 = -h2b6
5(a – h)6 – 2(a – h)6 = 3(a – h)6

Умножение степеней

Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

Так, результат умножения a3 на b2 равен a3b2 или aaabb.

Первый множительx-33a6y2a2b3y2
Второй множительam-2xa3b2y
Результатamx-3-6a6xy2a2b3y2a3b2y

Или:
x-3 ⋅ am = amx-3
3a6y2 ⋅ (-2x) = -6a6xy2
a2b3y2 ⋅ a3b2y = a2b3y2a3b2y

Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a5b5y3.

Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат – это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

Так, a2.a3 = aa.aaa = aaaaa = a5.

Здесь 5 – это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

Так, an.am = am+n.

Для an, a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

И am, берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Так, a2.a6 = a2+6 = a8. И x3.x2.x = x3+2+1 = x6.

Первый множитель4anb2y3(b + h – y)n
Второй множитель2anb4y(b + h – y)
Результат8a2nb6y4(b + h – y)n+1

Или:
4an ⋅ 2an = 8a2n
b2y3 ⋅ b4y = b6y4
(b + h – y)n ⋅ (b + h – y) = (b + h – y)n+1

Умножьте (x3 + x2y + xy2 + y3) ⋅ (x – y).
Ответ: x4 – y4.
Умножьте (x3 + x – 5) ⋅ (2×3 + x + 1).

Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых – отрицательные.

1. Так, a-2.a-3 = a-5. Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n.y-m = y-n-m.

3. a-n.am = am-n.

Если a + b умножаются на a – b, результат будет равен a2 – b2: то есть

Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат, результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

Так, (a – y).(a + y) = a2 – y2.
(a2 – y2)⋅(a2 + y2) = a4 – y4.
(a4 – y4)⋅(a4 + y4) = a8 – y8.

Деление степеней

Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

Таким образом a3b2 делённое на b2, равно a3.

Делимое9a3y4a2b + 3a2d⋅(a – h + y)3
Делитель-3a3a2(a – h + y)3
Результат-3y4b + 3d

Или:$\frac{9a3y4}{-3a3} = -3y4$$\frac{a2b + 3a2}{a2} = \frac{a2(b+3)}{a2} = b + 3$

$\frac{d\cdot (a – h + y)3}{(a – h + y)3} = d$

Запись a5, делённого на a3, выглядит как $\frac{a5}{a3}$. Но это равно a2. В ряде чисел
a+4, a+3, a+2, a+1, a0, a-1, a-2, a-3, a-4.
любое число может быть поделено на другое, а показатель степени будет равен разнице показателей делимых чисел.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются..

Так, y3:y2 = y3-2 = y1. То есть, $\frac{yyy}{yy} = y$.

И an+1:a = an+1-1 = an. То есть $\frac{aan}{a} = an$.

Делимоеy2m8an+m12(b + y)n
Делительym4am3(b + y)3
Результатym2an4(b +y)n-3

Или:
y2m : ym = ym
8an+m : 4am = 2an
12(b + y)n : 3(b + y)3 = 4(b +y)n-3

Правило также справедливо и для чисел с отрицательными значениями степеней.
Результат деления a-5 на a-3, равен a-2.
Также, $\frac{1}{aaaaa} : \frac{1}{aaa} = \frac{1}{aaaaa}.\frac{aaa}{1} = \frac{aaa}{aaaaa} = \frac{1}{aa}$.

h2:h-1 = h2+1 = h3 или $h2:\frac{1}{h} = h2.\frac{h}{1} = h3$

Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

1. Уменьшите показатели степеней в $\frac{5a4}{3a2}$ Ответ: $\frac{5a2}{3}$.

2. Уменьшите показатели степеней в $\frac{6×6}{3×5}$. Ответ: $\frac{2x}{1}$ или 2x.

3. Уменьшите показатели степеней a2/a3 и a-3/a-4 и приведите к общему знаменателю.
a2.a-4 есть a-2 первый числитель.
a3.a-3 есть a0 = 1, второй числитель.
a3.a-4 есть a-1, общий числитель.
После упрощения: a-2/a-1 и 1/a-1.

4. Уменьшите показатели степеней 2a4/5a3 и 2/a4 и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a3/5a7 и 5a5/5a7 или 2a3/5a2 и 5/5a2.

5. Умножьте (a3 + b)/b4 на (a – b)/3.

6. Умножьте (a5 + 1)/x2 на (b2 – 1)/(x + a).

7. Умножьте b4/a-2 на h-3/x и an/y-3.

8. Разделите a4/y3 на a3/y2. Ответ: a/y.

9. Разделите (h3 – 1)/d4 на (dn + 1)/h.

Источник: https://www.math10.com/ru/algebra/slogenie-vichitanie-umnozhenie-delenie-stepeney.html

Действия со степенями: правила вычисления степеней с разными основаниями или натуральными показателями по математике и порядок этого

Умножение чисел со степенями с разными основаниями

Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.

В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.

Степень, свойства и действия со степенями, сложение, умножение, деление отрицательных степеней, степень с натуральным показателем, правила и формулы

Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

Что такое степень числа

Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?

Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.

Математически это выглядит следующим образом: an = a * a * a * …an.

Причем, левая часть уравнения будет читаться, как a в степ. n.

Например:

  • 23 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8,
  • 42 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16,
  • 54 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625,
  • 105 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000,
  • 104 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.

Таблица степеней от 1 до 10

Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».

Ч-ло2-ая ст-нь3-я ст-нь
111
248
3927
41664
525125
636216
749343
864512
981279
101001000

Свойства степеней

Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.

Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

  • an * am = (a)(n+m),
  • an : am = (a)(n-m),
  • (ab ) m=(a)(b*m).

Проверим на примерах:

  • 23 * 22 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Аналогично:

  • 23 : 22 = 8 / 4 =2. Иначе 23-2 = 21 =2.
  • (23)2 = 82 = 64. А если по-другому? 26 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Как видим, правила работают.

А как же быть со сложением и вычитанием? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.

Посмотрим на примерах:

  • 33 + 24 = 27 + 16 = 43,
  • 52 – 32 = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 3)2 = 22 = 4.
  • А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3)3 = 83 = 512.

Как производить вычисления в более сложных случаях? Порядок тот же:

  • при наличии скобок – начинать нужно с них,
  • затем возведение в степень,
  • потом выполнять действия умножения, деления,
  • после сложение, вычитание.

Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

  1. Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: am/n.
  2. При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
  3. При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b)n = an * bn.
  4. При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
  5. Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
  6. Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.

Источник: https://rgiufa.ru/matematika-fizika-himiya/kakie-vozmozhny-dejstviya-so-stepenyami.html

Свойства степени

Умножение чисел со степенями с разными основаниями
Что такое степень числа Свойства степени Возведение в степень дроби

Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1
Произведение степеней

Запомните!

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

am · an = am + n, где «a» — любое число, а «m», «n» — любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

Примеры.

  • Упростить выражение.
    b · b2 · b3 · b4 · b5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b15
  • Представить в виде степени.
    615 · 36 = 615 · 62 = 615 · 62 = 617
  • Представить в виде степени.
    (0,8)3 · (0,8)12 = (0,8)3 + 12 = (0,8)15

Важно!

Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями. Оно не относится к их сложению.

Нельзя заменять сумму (33 + 32) на 35. Это понятно, если
посчитать (33 + 32) = (27 + 9) = 36 , а 35 = 243

Свойство № 2
Частное степеней

Запомните!

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

= am − n, где «a» — любое число, не равное нулю, а «m», «n» — любые натуральные числа такие, что «m > n».

Примеры.

  • Записать частное в виде степени
    (2b)5 : (2b)3 = (2b)5 − 3 = (2b)2
  • Вычислить. = 113 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
  • Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
    38 : t = 34

    t = 38 : 34

    t = 38 − 4

    t = 34

    Ответ: t = 34 = 81

Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

  • Пример. Упростить выражение.
    45m + 6 · 4m + 2 : 44m + 3 = 45m + 6 + m + 2 : 44m + 3 = 46m + 8 − 4m − 3 = 42m + 5
  • Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.
    = = = = = 211 − 5 = 2 6 = 64

Важно!

Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

Нельзя заменять разность (43 −42) на 41. Это понятно, если посчитать (43 −42) = (64 − 16) = 48, а 41 = 4

Будьте внимательны!

Запомните!

При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

(an)m = an · m, где «a» — любое число, а «m», «n» — любые натуральные числа.

  • Пример.
    (a4)6 = a4 · 6 = a24
  • Пример. Представить 320 в виде степени с основанием 32.

    По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:

Запомните!

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

(a · b)n = an · bn, где «a», «b» — любые рациональные числа; «n» — любое натуральное число.

  • Пример 1.
    (6 · a2 · b3 · c )2 = 62 · a2 · 2 · b3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a4 · b6 · с 2
  • Пример 2.
    (−x2 · y)6 = ( (−1)6 · x2 · 6 · y1 · 6) = x12 · y6

Важно!

Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

(an · bn)= (a · b) n

То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

  • Пример. Вычислить.
    24 · 54 = (2 · 5)4 = 104 = 10 000
  • Пример. Вычислить.
    0,516 · 216 = (0,5 · 2)16 = 1

В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

Например, 45 · 32 = 43 · 42 · 32 = 43 · (4 · 3)2 = 64 · 122 = 64 · 144 = 9216

Пример возведения в степень десятичной дроби.

421 · (−0,25)20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25))20 = 4 · (−1)20 = 4 · 1 = 4 Запомните!

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

(a : b)n = an : bn, где «a», «b» — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

  • Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
    (5 : 3)12 = 512 : 312

Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages%2Fstepeni%2Fstepeni2.php

Pro-pravo-online